Предлагаем купитьпесок карьерный в Москве с доставкой от 30 минут. Своя перевалочная база!

Как прикрепить веревку к картине

Предлагаем купитьнамывной песок в Москве с доставкой от 30 минут. Своя перевалочная база!

 

Задача

Однажды дядюшка Поджер в очередной раз вешал картину на стене в своем кабинете. Как ни странно, после нескольких падений со стремянки и отбитых пальцев ему это удалось. Любуясь через некоторое время этой прекрасной картиной, дядюшка заметил, что, хотя он вешал её на два гвоздя, висит она не очень надёжно: стоит любому из гвоздей выпасть, как картина рухнет на пол.
а) Как он смог так замысловато повесить картину?
б) Тот же вопрос, но для трех гвоздей.
в) Снова три гвоздя, но двух цветов: один синий, два красных. Картина падает, если вынуть все гвозди одного цвета.

Примечания.
1. Сначала дядюшка вбил гвозди, а потом накрутил на них веревку так, как описано в условии.
2. Физические эффекты в этой задаче учитывать не нужно: картина достаточно тяжелая, а веревка, на которой висит картина, достаточно длинная и скользкая (узлы вязать не получится). Мы считаем, что если картина может упасть, то она это обязательно сделает — по пути ничего не запутается и не зацепится и веревка соскользнёт с оставшихся в стене гвоздей под весом картины.
(Как дядюшка Поджер вешал картину в предыдущий раз, см., например, здесь.)

Подсказка 1

Для простоты (и чтобы картина нам не мешала) считаем, что сначала мы цепляем веревку, а потом к ее свободным концам привешиваем картину.
Итак, пусть в стене всего один гвоздь, мы как-то накручиваем на него обычную веревку, а потом тянем за ее концы вниз. Каким должно быть это «накручивание», чтобы веревка не зацепилась за гвоздь?

Подсказка 2

Ответ на вопрос из первой подсказки такой: число оборотов веревки вокруг гвоздя в обоих направлениях (по часовой стрелке и против часовой стрелки) должно быть одинаково. Это свойство должно выполняться после вынимания любого гвоздя. Значит, и изначально дядюшка повесил картину так, что его веревка обходит каждый гвоздь в обоих направлениях одинаковое число раз (у разных гвоздей, тем не менее, эти числа могут быть разными).

Подсказка 3

Пункты б) и в) немного по-разному используют решение пункта а).

Решение

Из подсказок ясно, что в пункте а) веревка должна обходить хотя бы дважды вокруг каждого гвоздя: по одному разу в каждом направлении. Также ясно, что обходы вокруг разных гвоздей должны идти по очереди — обходы подряд в противоположных направлениях «сокращаются». (Накручивать в одном направлении много раз пока не будем, а понадеемся, что самое простое решение сработает.) Итак, цепляем веревку за два гвоздя: сначала по часовой стрелке вокруг первого, потом в том же направлении вокруг второго, потом против часовой стрелки вокруг первого и, наконец, против часовой стрелки вокруг второго. То, что получится, изображено на рис. 1.

Если чередовать направления обхода гвоздей, то получится более симметричное решение (рис. 2).

Эти конфигурации действительно работают. Чтобы в этом убедиться, вам не понадобятся ни гвозди, ни стена, ни картина — проверить можно буквально на пальцах. Просто поставьте два пальца на стол и проведите нитку или шнурок, как на рисунке. Затем приподнимите один палец и потяните за концы нитки. Вы увидите, что она соскочит со второго пальца не зацепившись!

Пункт а) решен.

Как использовать этот способ в решении пунктов б) и в)?

Сначала обсудим пункт в), так как с ним немного проще, чем с пунктом б): нужно просто мысленно представить, что два синих гвоздя — это один большой синий «супергвоздь». Это сразу позволяет применить алгоритм из пункта а). Когда по этому алгоритму требуется обмотать веревку вокруг «супергвоздя» в каком-то направлении, то нужно обмотать её сразу вокруг обоих синих гвоздей в том же направлении (см. рис. 3).

Теперь перейдем к пункту б). Можно начать с конструкции из пункта в) — для этого достаточно покрасить (хотя бы в уме) любые два гвоздя в синий цвет. Что получилось? Если вынуть третий гвоздь, то веревка соскользнет с двух оставшихся. А вот если вынуть какой-нибудь синий гвоздь, то она останется зацепленной за оставшиеся два.

Справиться с этим поможет конструкция из пункта а): нужно заменить каждую из простых петель, которые идут вокруг синих гвоздей, на «сложную» петлю из этого пункта (с учетом направления). Тогда если убрать третий гвоздь, то веревка по-прежнему будет соскальзывать с синих гвоздей. Это так, потому что останутся только две «сложных» петли, которые идут одна за другой в противоположных направлениях.

А если убрать любой из синих гвоздей, то обе «сложных» петли исчезнут, ведь веревку можно будет стянуть со второго синего гвоздя, и она будет обходить только третий гвоздь сначала в одном направлении, а потом — в противоположном, то есть не будет цепляться и за него. Изобразить это не так просто, потому что получается очень много линий, но на рис. 4 можно разглядеть решение, если присмотреться.

Послесловие

Пункт б) можно обобщить: рассматривать n гвоздей и требовать, чтобы картина падала, когда выпадает любой из них. Решение получается по индукции. Сначала выделяем группу из n–1 гвоздя, которую уже умеем вешать так, чтобы картина с них падала. А затем применяем к этой группе и оставшемуся гвоздю алгоритм пункта а), в котором обычные петли вокруг группы заменены на «сложные».

Можно обобщить и пункт в). Рассмотрим n гвоздей, которые разделены на несколько групп. Гвозди из каждой группы покрашены в один цвет, гвозди из разных групп покрашены в разные цвета. Требуется повесить картину так, чтобы она падала, если вынуть все гвозди одной группы, и не падала, если в каждой группе останется хотя бы по одному гвоздю. Как решать эту задачу, вам должно быть теперь более или менее понятно.

К решению пунктов а и б) можно подойти и совсем по-другому.

Кольцами Борромео (см. Borromean_rings) называется конфигурация из трёх колец, изображенная на рис. 5.

Предлагаем купить песок с доставкой в Москве. Своя перевалочная база!

   

Этот символ — три сцепленных кольца — известен с давних времен, ему приписывают разные магические свойства, а в геральдике он обозначает девиз «сила в единстве». Кольца были эмблемой итальянских аристократов Борромео, отсюда и название.

Любопытно, что конфигурация устроена так, что все три кольца не могут быть плоскими одновременно. Нам же интересно другое их свойство: хотя все три кольца сцеплены и разъединить их нельзя, но любые два из них не зацеплены друг за друга. Это означает, что если убрать одно кольцо, то другие два уже не будут держаться вместе. Не напоминает ли это нашу задачу? Правда, у нас были гвозди и веревка — разные по сути предметы, а здесь три равноправных кольца. Но вот что мы сделаем.

Представим, что два кольца из невероятно тягучего материала (условно будем называть их резиновыми), а третье — веревочное. Разрежем одно резиновое кольцо, возьмем за концы разреза и начнем распрямлять и одновременно растягивать это кольцо. Разумеется, нужно следить, чтобы два других не соскочили, но это не очень сложно. Сделаем таким образом из этого кольца очень длинный отрезок. Затем тоже самое сделаем и со вторым резиновым кольцом. В итоге у нас будут два длинных прямых (резиновых) гвоздя, вокруг которых будет обвиваться третье веревочное кольцо. Вот и готово решение пункта а) — если убрать один из «гвоздей», то веревка не будет держаться за второй. Это свойство от наших преобразований не пострадает.

Похожими рассуждениями можно решить и пункт б) (и даже его обобщения для произвольных n). Для этого подойдут зацепления Брунна (см. Brunnian links), названные в честь придумавшего их в конце XIX века немецкого математика К. Х. Брунна). Это система из n петель, которые зацеплены так, что если убрать любую из них, то все остальные можно будет разъединить. На рис. 6 показан пример такого зацепления из четырёх колец.

Действуем аналогично — разрезаем все петли кроме одной и выпрямляем их (см. рис. 7 и 8).

Вид «сверху» на рис. 7 дает решение пункта б) (рис. 8):

Оказывается, что наша задача связана и с «более серьезными» разделами математики — с алгеброй и топологией. Обсудим эту связь (не претендуя на полноту и абсолютную строгость рассуждений).

Для начала рассмотрим множество слов конечной длины из «букв» a, a –1 , b, b –1 . «Пустое» слово нулевой длины тоже входит в это множество. Показатели степени (–1) не случайны: если в слове встретилась пара aa –1 , a –1 a, bb –1 или b –1 b, то она сокращается, её просто не пишут. Например, слова ab –1 a –1 и aaa –1 b –1 b1 ba –1 по нашим правилам на самом деле совпадают. Условимся писать каждое слово в самом коротком виде, то есть с уже произведенными сокращениями. Что можно делать со всеми этими словами? Их можно умножать: произведение слов A и B — это слово AB, которое получается приписыванием слова B в конец слова A и сокращением взаимно обратных букв (если оно потребуется). Например, пусть A = aaaba, B = a –1 b –1 a –1 b, тогда AB = (aaaba)(a –1 b –1 a –1 b) = aaabaa –1 b –1 a –1 b = aaabb –1 a –1 b = aaaa –1 b = aab. Относительно такой операции умножения наше множество слов образует группу (она называется свободной группой с двумя образующими).

Теперь рассмотрим другое множество — множество петель на плоскости с выколотыми точками. (Как всё это связано с нашей задачей, объясним чуть ниже.) Тут всё происходит на плоскости, из которой выколоты две точки — K и L. Отметим какую-нибудь еще точку, отличную от них; назовем её P. Петлей будем называть направленную линию, которая начинается и заканчивается в P и не проходит через выколотые точки. На рис. 9 показаны две петли. Зелёная дважды обходит точку K, синяя идет вокруг обеих выколотых точек.

Нас будет интересовать не конкретная форма петли, а то, как она расположена относительно выколотых точек. Поэтому петли, получающиеся друг из друга «непрерывным движением», в процессе которого линии не проходят через проколы, можно считать «одинаковыми». Пример одинаковых в этом смысле петель — на рис. 10 слева. Справа на этом рисунке изображены вроде бы те же петли, но нам приходится считать их разными из-за направления. Далее «одинаковые» петли мы уже не различаем.

Пусть муравей ползет сначала по одной петле, A, от начала до конца, а потом — по какой-то другой петле, B. Свой путь он закончит там же, где начинал — в точке P. При этом по дороге он ни разу не пройдет по выколотым точкам. Поэтому весь этот путь будет новой петлей, произведением петель A и B. Примеры этой операции и «упрощение результатов» показаны на рис. 11. Во втором примере в результате получается тривиальная петля, которая начинается в точке P и тут же в ней заканчивается. Хотя она не очень похожа на петлю, её нельзя игнорировать (так же как и пустое слово).

Можно доказать, что петли с таким умножением образуют группу (её называют фундаментальной группой плоскости с проколами). Фундаментальные группы служат одним из важнейших инструментом при изучении топологических пространств.

Наконец, обозначим одинарную петлю вокруг точки K через a, а одинарную петлю вокруг точки L через b. Эти же петли, проходимые в обратном направлении, обозначим a –1 и b –1 соответственно. Тогда получится, что каждой петле соответствует слово: любая петля делает обороты вокруг точек K и L (в каком-то порядке, в каких-то направлениях), то есть её можно разложить на произведение петель a, a –1 , b и b –1 и записать получившимся словом. Всё это доказывается в учебниках по топологии.

Теперь можно сказать, что петля с рис. 1 записывается словом aba –1 b –1 . Слово такого вида называется коммутатором a и b и обозначается [a, b]. Если вынуть левый гвоздь, то петли a и a –1 превратятся в тривиальные, и от коммутатора останется только bb –1 , а это тоже сокращается в пустое слово. Соответственно, вся петля стягивается в тривиальную. А это и означает, что картина упадёт.

Аналогично, для трёх гвоздей решение записывается так: [a, [b, c]] = a(bcb –1 c –1 )a –1 (bcb –1 c –1 ) –1 = abcb –1 c –1 a1 cbc –1 b –1 . Здесь уже три буквы, поскольку гвоздей-проколов стало три. Продолжая в том же духе, можно описать решения для произвольного числа гвоздей.

В заключение отметим, что, по-видимому, впервые эту задачу предложил Александр Спивак на одной из математических олимпиад для школьников в 90-х годах прошлого века. С полным исследованием задачи и её обобщений можно познакомиться в статье Picture-Hanging Puzzles.

Оцените статью
Добавить комментарий